有限数学示例

$\frac{- x^{2}}{{(1 + 4 x)}^{2}} = \frac{5}{4}$

解题步骤 1

将负号移到分数的前面。

$- \frac{x^{2}}{{(1 + 4 x)}^{2}} = \frac{5}{4}$

解题步骤 2

求方程中各项的最小公分母 (LCD)。

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解题步骤 2.1

求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

${(1 + 4 x)}^{2}, 4$

解题步骤 2.2

最小公倍数是能被所有数整除的最小正数。

1. 列出每个数的质因数。

2. 将每个因数乘以它在任一数字中出现的最大次数。

解题步骤 2.3

该数 $1$ 不是一个质数，因为它只有一个正因数，即其本身。

非质数

解题步骤 2.4

$4$ 具有因式 $2$ 和 $2$ 。

$2 \cdot 2$

解题步骤 2.5

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$4$

解题步骤 2.6

$1 + 4 x$ 的因式是 $(1 + 4 x) \cdot (1 + 4 x)$ ，同时也是 $1 + 4 x$ 乘以其本身 $2$ 次。

$(1 + 4 x) = (1 + 4 x) \cdot (1 + 4 x)$

$(1 + 4 x)$ 出现了 $2$ 次。

解题步骤 2.7

${(1 + 4 x)}^{2}$ 的最小公倍数为在任一项中出现次数最多的所有因数的乘积。

${(1 + 4 x)}^{2}$

解题步骤 2.8

某些数的最小公倍数 $LCM$ 是这些均为其因数的最小数。

$4 {(1 + 4 x)}^{2}$

解题步骤 3

将 $- \frac{x^{2}}{{(1 + 4 x)}^{2}} = \frac{5}{4}$ 中的每一项乘以 $4 {(1 + 4 x)}^{2}$ 以消去分数。

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解题步骤 3.1

将 $- \frac{x^{2}}{{(1 + 4 x)}^{2}} = \frac{5}{4}$ 中的每一项乘以 $4 {(1 + 4 x)}^{2}$ 。

$- \frac{x^{2}}{{(1 + 4 x)}^{2}} (4 {(1 + 4 x)}^{2}) = \frac{5}{4} (4 {(1 + 4 x)}^{2})$

解题步骤 3.2

化简左边。

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解题步骤 3.2.1

约去 ${(1 + 4 x)}^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.1.1

将 $- \frac{x^{2}}{{(1 + 4 x)}^{2}}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{- x^{2}}{{(1 + 4 x)}^{2}} (4 {(1 + 4 x)}^{2}) = \frac{5}{4} (4 {(1 + 4 x)}^{2})$

解题步骤 3.2.1.2

从 $4 {(1 + 4 x)}^{2}$ 中分解出因数 ${(1 + 4 x)}^{2}$ 。

$\frac{- x^{2}}{{(1 + 4 x)}^{2}} ({(1 + 4 x)}^{2} \cdot 4) = \frac{5}{4} (4 {(1 + 4 x)}^{2})$

解题步骤 3.2.1.3

约去公因数。

$\frac{- x^{2}}{{(1 + 4 x)}^{2}} ({(1 + 4 x)}^{2} \cdot 4) = \frac{5}{4} (4 {(1 + 4 x)}^{2})$

解题步骤 3.2.1.4

重写表达式。

$- x^{2} \cdot 4 = \frac{5}{4} (4 {(1 + 4 x)}^{2})$

解题步骤 3.2.2

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$- 4 x^{2} = \frac{5}{4} (4 {(1 + 4 x)}^{2})$

解题步骤 3.3

化简右边。

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解题步骤 3.3.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.1.1

从 $4 {(1 + 4 x)}^{2}$ 中分解出因数 $4$ 。

$- 4 x^{2} = \frac{5}{4} (4 ({(1 + 4 x)}^{2}))$

解题步骤 3.3.1.2

约去公因数。

$- 4 x^{2} = \frac{5}{4} (4 {(1 + 4 x)}^{2})$

解题步骤 3.3.1.3

重写表达式。

$- 4 x^{2} = 5 {(1 + 4 x)}^{2}$

解题步骤 4

求解方程。

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解题步骤 4.1

化简 $5 {(1 + 4 x)}^{2}$ 。

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解题步骤 4.1.1

将 ${(1 + 4 x)}^{2}$ 重写为 $(1 + 4 x) (1 + 4 x)$ 。

$- 4 x^{2} = 5 ((1 + 4 x) (1 + 4 x))$

解题步骤 4.1.2

使用 FOIL 方法展开 $(1 + 4 x) (1 + 4 x)$ 。

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解题步骤 4.1.2.1

运用分配律。

$- 4 x^{2} = 5 (1 (1 + 4 x) + 4 x (1 + 4 x))$

解题步骤 4.1.2.2

运用分配律。

$- 4 x^{2} = 5 (1 \cdot 1 + 1 (4 x) + 4 x (1 + 4 x))$

解题步骤 4.1.2.3

运用分配律。

$- 4 x^{2} = 5 (1 \cdot 1 + 1 (4 x) + 4 x \cdot 1 + 4 x (4 x))$

解题步骤 4.1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 4.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.3.1.1

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$- 4 x^{2} = 5 (1 + 1 (4 x) + 4 x \cdot 1 + 4 x (4 x))$

解题步骤 4.1.3.1.2

将 $4 x$ 乘以 $1$ 。

$- 4 x^{2} = 5 (1 + 4 x + 4 x \cdot 1 + 4 x (4 x))$

解题步骤 4.1.3.1.3

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$- 4 x^{2} = 5 (1 + 4 x + 4 x + 4 x (4 x))$

解题步骤 4.1.3.1.4

使用乘法的交换性质重写。

$- 4 x^{2} = 5 (1 + 4 x + 4 x + 4 \cdot 4 x \cdot x)$

解题步骤 4.1.3.1.5

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 4.1.3.1.5.1

移动 $x$ 。

$- 4 x^{2} = 5 (1 + 4 x + 4 x + 4 \cdot 4 (x \cdot x))$

解题步骤 4.1.3.1.5.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$- 4 x^{2} = 5 (1 + 4 x + 4 x + 4 \cdot 4 x^{2})$

解题步骤 4.1.3.1.6

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$- 4 x^{2} = 5 (1 + 4 x + 4 x + 16 x^{2})$

解题步骤 4.1.3.2

将 $4 x$ 和 $4 x$ 相加。

$- 4 x^{2} = 5 (1 + 8 x + 16 x^{2})$

解题步骤 4.1.4

运用分配律。

$- 4 x^{2} = 5 \cdot 1 + 5 (8 x) + 5 (16 x^{2})$

解题步骤 4.1.5

化简。

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解题步骤 4.1.5.1

将 $5$ 乘以 $1$ 。

$- 4 x^{2} = 5 + 5 (8 x) + 5 (16 x^{2})$

解题步骤 4.1.5.2

将 $8$ 乘以 $5$ 。

$- 4 x^{2} = 5 + 40 x + 5 (16 x^{2})$

解题步骤 4.1.5.3

将 $16$ 乘以 $5$ 。

$- 4 x^{2} = 5 + 40 x + 80 x^{2}$

解题步骤 4.2

因为 $x$ 在方程的右边，所以要交换两边使其出现在方程的左边。

$5 + 40 x + 80 x^{2} = - 4 x^{2}$

解题步骤 4.3

将所有包含 $x$ 的项移到等式左边。

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解题步骤 4.3.1

在等式两边都加上 $4 x^{2}$ 。

$5 + 40 x + 80 x^{2} + 4 x^{2} = 0$

解题步骤 4.3.2

将 $80 x^{2}$ 和 $4 x^{2}$ 相加。

$5 + 40 x + 84 x^{2} = 0$

解题步骤 4.4

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 4.5

将 $a = 84$ 、 $b = 40$ 和 $c = 5$ 的值代入二次公式中并求解 $x$ 。

$\frac{- 40 \pm \sqrt{40^{2} - 4 \cdot (84 \cdot 5)}}{2 \cdot 84}$

解题步骤 4.6

化简。

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解题步骤 4.6.1

化简分子。

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解题步骤 4.6.1.1

对 $40$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{1600 - 4 \cdot 84 \cdot 5}}{2 \cdot 84}$

解题步骤 4.6.1.2

乘以 $- 4 \cdot 84 \cdot 5$ 。

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解题步骤 4.6.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $84$ 。

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{1600 - 336 \cdot 5}}{2 \cdot 84}$

解题步骤 4.6.1.2.2

将 $- 336$ 乘以 $5$ 。

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{1600 - 1680}}{2 \cdot 84}$

解题步骤 4.6.1.3

从 $1600$ 中减去 $1680$ 。

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{- 80}}{2 \cdot 84}$

解题步骤 4.6.1.4

将 $- 80$ 重写为 $- 1 (80)$ 。

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{- 1 \cdot 80}}{2 \cdot 84}$

解题步骤 4.6.1.5

将 $\sqrt{- 1 (80)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{80}$ 。

$x = \frac{- 40 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{80}}{2 \cdot 84}$

解题步骤 4.6.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \frac{- 40 \pm i \cdot \sqrt{80}}{2 \cdot 84}$

解题步骤 4.6.1.7

将 $80$ 重写为 $4^{2} \cdot 5$ 。

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解题步骤 4.6.1.7.1

从 $80$ 中分解出因数 $16$ 。

$x = \frac{- 40 \pm i \cdot \sqrt{16 (5)}}{2 \cdot 84}$

解题步骤 4.6.1.7.2

将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

$x = \frac{- 40 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 84}$

解题步骤 4.6.1.8

从根式下提出各项。

$x = \frac{- 40 \pm i \cdot (4 \sqrt{5})}{2 \cdot 84}$

解题步骤 4.6.1.9

将 $4$ 移到 $i$ 的左侧。

$x = \frac{- 40 \pm 4 i \sqrt{5}}{2 \cdot 84}$

解题步骤 4.6.2

将 $2$ 乘以 $84$ 。

$x = \frac{- 40 \pm 4 i \sqrt{5}}{168}$

解题步骤 4.6.3

化简 $\frac{- 40 \pm 4 i \sqrt{5}}{168}$ 。

$x = \frac{- 10 \pm i \sqrt{5}}{42}$

解题步骤 4.7

最终答案为两个解的组合。

$x = - \frac{10 - i \sqrt{5}}{42}, - \frac{10 + i \sqrt{5}}{42}$

$x = \frac{- 10 \pm i \sqrt{5}}{42}$

解题步骤 5

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